题目内容
【题目】已知函数.
若函数
在
内有且只有一个零点,求此时函数
的单调区间;
当
时,若函数
在
上的最大值和最小值的和为1,求实数a的值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
求出函数的导数,得到极值点,当
时,当
时,判断导函数的符号,得到函数的单调性,利用函数的极值结合函数的零点推出函数
的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
;
当
时,函数
有两个极值点,推出
,
.
若
,由
可得
的值;
若
,由
可得
,不符合题意舍去,通过
若
;
若
,转化求解即得到实数
的值.
,
由
,得到
,
,
当时,
在区间
上恒成立,
即函数在区间
上单调递增,
又因为函数的图象过点
,即
,
所以函数在
内没有零点,不合题意,
当时,由
得
,即函数
在区间
上单调递增,
由得
,即函数
在区间在
上单调递减,
且过点,要使函数
在
内有且只有一个零点,则须
,
即,解得
,
综上可得函数在
内有且只有一个零点时
,
此时函数的单调递增区间为
,
,单调递减区间为
当
时,函数
在
,
上单调递增,在
上单调递减,
此时函数有两个极值点,极大值为
,极小值为
,
且,
,,
若
,即
,也即
时,此时
,
又,
由可得
,即
,符合题意
若
,即
,也即
时,
此时,
,
由可得
,即
,不符合题意舍去,
又
,
若
,即
,也即
时,此时
,
由可得
,即
,不符合题意舍去
若
,即
,也即
时,此时
,
由可得
,即
,不符合题意舍去,
综上所述可知所求实数a的值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分为5组:分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(I)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;
(II)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
25周岁以上组 25周岁以下组