Question

【题目】已知函数.

(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)求证：当时，.

Answer 1

【答案】(1)f(x)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)；(2)见解析.

【解析】

(Ⅰ)明确定义域，求出导函数，解不等式即可得到函数的单调区间；

(Ⅱ)作差构造新函数，研究函数的最值即可.

(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，

∵f′(x)＝2x-2=，

由f′(x)>0， 得x>1; 由f′(x)<0， 得0<x<1

∴f(x)的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)．

(2)设g(x)＝f（x）-3x+1=x2－2lnx-3x+4，

∴g′(x)＝2x-2--3=，

∵当x>2时，g′(x)>0，

∴g(x)在(2，＋∞)上为增函数，

∴g(x)>g(2)＝4-2ln2-6+4>0，

∴当x>2时， x2-2lnx>3x-4,

即当x>2时..