题目内容
【题目】已知函数,
,(
为自然对数的底数),且曲线
与
在坐标原点处的切线相同.
(1)求的最小值;
(2)若时,
恒成立,试求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)由于曲线与
在坐标原点处的切线相同,即它们在原点的导数相同,
,
,
且切点为原点,
,解得
.所以
,当
时,
;当
时,
,所以当
时,
取得最小值为
;(2)由(1)知,
,即
,从而
,即
.构造函数
,利用导数并对
分类讨论
的图象与性质,由此求得实数
的取值范围.
试题解析:
(1)因为,
,
依题意,,且
,解得
,
所以,当
时,
;当
时,
.
故的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
∴当时,
取得最小值为0.
(2)由(1)知,,即
,从而
,即
.
设,
则,
(1)当时,因为
,∴
(当且仅当
时等号成立)
此时在
上单调递增,从而
,即
.
(2)当时,由于
,所以
,
又由(1)知,,所以
,故
,
即.(此步也可以直接证
)
(3)当时,令
,则
,
显然在
上单调递增,又
,
,
所以在
上存在唯一零点
,
当时,
,∴
在
上单调递减,
从而,即
,所以
在
上单调递减,
从而当时,
,即
,不合题意.
综上,实数的取值范围为
.
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