题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,点
,直线
:
,圆
:
.
(1)求的取值范围,并求出圆心坐标;
(2)若圆的半径为1,过点
作圆
的切线,求切线的方程;
(3)有一动圆的半径为1,圆心在
上,若动圆
上存在点
,使
,求圆心
的横坐标
的取值范围.
【答案】(1)的取值范围为
,圆心
坐标为
;(2)
或
;(3)
.
【解析】
(1)把圆的方程化为标准式,即得
的取值范围及圆心坐标;
(2)把点的坐标代入圆
的方程,可得点
在圆外.设过点
的切线方程为
,由圆心到直线的距离等于半径求出
的值,即得切线方程;
(3)设圆心,写出圆
的方程.由
,可得点
在线段
的中垂线
上,求出直线
的方程,则圆
和直线
的公共点即为点
.由圆心
到直线
的距离小于等于半径1,可得
的取值范围.
(1)化为
,
由得
,∴
的取值范围为
,圆心
坐标为
.
(2)由(1)知圆心的坐标为
,当半径为1时,
圆的方程为:
,将
代入
,
得,∴
在圆
外,
设所求圆的切线方程为
,即
,∴
.
∴,∴
,
∴或者
,∴所求圆
的切线方程为:
或者
,
即或
.
(3)∵圆的圆心在直线
:
上,所以,设圆心
,又半径为1,
则圆的方程为:
,
又∵,
∴点在
的中垂线
上,
的中点
得直线
:
,
∴点应该既在圆
上又在直线
上,即圆
和直线
有公共点.
∴,∴
.
综上所述,的取值范围为:
.
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