Question

2．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ） 若对?x∈（0，+∞）有2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（Ⅱ）问题转化为2lnx+x+$\frac{3}{x}$≥a恒成立，令h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，通过讨论h（x）的单调性求出h（x）的最小值，从而求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）导函数f′（x）=1+lnx，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$，
当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞$\frac{1}{e}$时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）在x=$\frac{1}{e}$处取得极小值，且极小值为f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）对?x∈（0，+∞）有2f（x）≥g（x）恒成立，
等价于2lnx+x+$\frac{3}{x}$≥a恒成立，
令h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，则h′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，得x=1或x=-3（舍去），
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）在x=1处取得最小值，且最小值为f（1）=4，
因而a≤4，故a的取值范围是：（-∞，4]．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查函数恒成立问题，导数的应用，是一道中档题．