Question

12．若实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{（x-\sqrt{3}）^{2}+（y-1）^{2}≤1}\\{kx+y≥0}\\{kx-y≥0}\end{array}\right.$，点（x，y）表示的图形面积为π，则实数k的取值范围是（　　）

• A． k≤-$\sqrt{3}$或k≥1
• B． k≥1
• C． k≤-$\sqrt{3}$或k$≥\sqrt{3}$
• D． k≥$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，求出圆的面积得到圆A在不等式对应的区域内，利用直线和圆的位置关系进行即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，则圆心坐标为A（$\sqrt{3}$，1），半径R=1．
则圆的面积S=π×1²=π，
∵点（x，y）表示的图形面积为π，
∴等价为圆A在不等式对应的区域内，
则若k＞0，等价于直线kx-y=0与圆相切或相离，
即$\frac{|\sqrt{3}k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≥1，平方得k²-$\sqrt{3}$k≥0，
解得k≥$\sqrt{3}$或k≤0（舍），
若k＜0，等价于直线kx+y=0与圆相切或相离，
即$\frac{|\sqrt{3}k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}≥1$，平方得k²+$\sqrt{3}$k≥0，
解得k≥0（舍）或k≤-$\sqrt{3}$，
综上k≤-$\sqrt{3}$或k$≥\sqrt{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及直线和圆的位置关系的判断，根据圆的面积判断圆在平面区域内是解决本题的关键．