题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,
,
,
,
.
为线段
的中点.
(1)证明:面
;
(2)求与平面
所成的角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)根据已知条件证明,结合
平面
.即可得证;
(2)解法一(几何法):先找到在平面内的射影直线,则所求角可得,在直角三角形中求出此角,即可得结果;
解法二(空间向量法):建立空间直角坐标系,确定各点坐标,求出坐标和平面
的法向量坐标,结合线面角公式,即可得结果.
(1)取中点
,因为
,
,
所以,
,∴
.
因为平面
,
平面
,所以
,
因为平面
,
平面
,
,
所以面
.
(2)法一:连结,由(1)
平面
可得
,
与平面
所成角为
.
∵,
分别是
,
的中点,
∴,
因为,
,
所以,
,
因为,所以
,
∴在中,
,
∴.
因此与平面
所成的角的正弦值为
.
法二:以为坐标原点,
,
平行于
的直线
为,
,
轴,建立如图所示空间直角坐标系,则因为
,
,所以
,
,
因为,所以
,因此
,
,
,
,
,
从而为平面
一个法向量,
,
,
.
因此与平面
所成的角的正弦值为
.
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