Question

【题目】已知函数，.

（1）求函数的极值；

（2）①讨论函数的单调性；

②求证：.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见证明

【解析】

（1）先对函数求导，求出其单调区间，即可得出其极值；

（2）①对函数求导，可得，由（1）的结果，即可确定函数的单调性；

②由①可知，函数在定义域上单调递减，进而可得对任意恒成立，再令（，且），代入不等式整理即可得出结论成立.

解：（1）.

令，得；令，得，

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.

所以-1是函数的一个极大值点，即，无极小值.

（2）①函数的定义域为.

，

由（1）得，的最大值为其极大值，

所以的最大值为.

所以对一切，都有.

所以函数在定义域上单调递减.

②由①可知，函数在定义域上单调递减，

则当时，，

即对任意恒成立.

令（，且），得，

得，

得，

得，所以，即.

令，即得.