题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,
边长为
的正方形,
,
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)证明:在线段上存在点
,使得
,并求
的值。
【答案】(1)证明见解析;(2) (3)证明见解析;
【解析】
(1)根据所给线段长度,由勾股定理逆定理可得,结合正方形中的垂直关系,利用线面垂直的判定定理即可判断
平面
.
(2)以为原点建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,求得平面
与平面
的法向量,根据向量的数量积运算即可求得向量夹角的余弦值.
(3)假设在线段上存在点
,设出点
的坐标,根据垂直时的向量坐标运算求得点
的坐标,即可证明存在点
;根据相似,即可求得
的值.
(1)因为边长为
的正方形,
,
,
则,即
又正方形中
,且
所以平面
(2)以为原点,以
所在直线为
轴, 以
所在直线为
轴, 以
所在直线为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
则,
,
,
所以,
,
设平面的法向量为
,平面
的法向量为
,
则代入可得
,令
则解得
所以
同理代入可得
,令
则解得
所以
则
由图可知, 平面与平面
形成的二面角为锐二面角
所以二面角的余弦值为
(3)证明:假设在线段上存在点
,使得
,过
作
,作
,如下图所示:
设,则由
,即
,所以
则,由
,即
,所以
所以
所以,
因为
所以
即,化简可得
解得
即在线段上存在点
,使得
则
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目