Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为梯形， ， ， ，平面 平面， .

（1）求证： ；

（2）是否存在点，到四棱锥各顶点的距离都相等？说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1），平面平面，所以平面，得；（2）点 是三个直角三角形、和的共同斜边的中点，所以，所以存在点（即点）到四棱锥各顶点的距离都相等.

试题解析：

（1）证明：设的中点为，连结，在梯形中，

因为， ，

所以为等边三角形，

又

所以四边形为菱形，

因为， ，所以

所以，

又平面平面， 是交线， 平面

所以平面

又因为 平面，所以

（2）解：因为， ， ，所以平面

所以

所以 为直角三角形，

连结 ，由（1）知，

所以

所以 为直角三角形， .

所以点 是三个直角三角形、和的共同斜边的中点，

所以，

所以存在点（即点）到四棱锥各顶点的距离都相等.