题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求证:
在
上是单调递减函数;
(2)若函数有两个正零点
、
,求
的取值范围,并证明:
.
【答案】(1)见证明;(2)实数的取值范围是
,证明见解析.
【解析】
(1)由题意得出在区间
上恒成立,由
得出
,构造函数
,证明
在区间
上恒成立即可;
(2)由利用参变量分离法得出
,将题意转化为当直线
与函数
在
上有两个交点时求
的取值范围,利用数形结合思想求解即可,然后由题意得出
,取自然对数得
,等式作差得
,利用分析得出所证不等式等价于
,然后构造函数
证明即可.
(1),
.
由题意知,不等式在区间
上恒成立,
由于,当
时,
,
构造函数,其中
,则
,令
,得
.
当时,
;当
时,
.
所以,函数在
处取得极大值,亦即最大值,即
,
,所以,
.
所以,不等式在区间
上恒成立,
因此,当时,函数
在
上是单调递减函数;
(2)令,可得
令,则
.
当时,
,当
时,
.
当时,函数
单调递减,当
时,函数
单调递增.
,
当时,
,当
时.
.
时,函数
有两个正零点,因此,实数
的取值范围是
.
由上知时,
,
由题意得,上述等式两边取自然对数得
,
两式作差得,
,
要证,即证
.
由于,则
,即证
,
即证,令
,即证
,其中
.
构造函数,其中
,即证
在
上恒成立.
,所以,函数
在区间
上恒成立,
所以,,因此,
.
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