题目内容
【题目】已知函数的相邻两对称轴间的距离为
,若将
的图像先向左平移
个单位,再向下平移
个单位,所得的函数
为奇函数.
(1)求的解析式;
(2)若关于的方程
在区间
上有两个不等实根,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)根据相邻两对称轴间的距离求出值,由函数图像的变换关系,求出函数
,再结合
是奇函数,即可求出参数;
(2)设,
,原方程在区间
上有两个不等实根,转化为方程
在
内仅有一个根,且另一个根
,转化一元二次方程根的分布求参数,或分离参数转化为对勾函数与直线交点横坐标范围,即可求解.
解:(1)由题意知的周期
,
故,
而
为奇函数,则,且
,
而,故
,因此
;
(2)由(1)知,题意等价于
在区间
上有两个不等实根,
令,
,则题意
方程
在
内仅有一个根,且另一个根
.
法一:令,则题意
或
;
法二:显然不是该方程的根,题意
与的图像在
内仅有一个交点且另一个交点不为
,
由于对勾函数在
上单减,在
上单增,
故有或
,因此
.
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