题目内容

已知函数对任意实数恒有且当时,有.
(1)判断的奇偶性;
(2)求在区间上的最大值;
(3)解关于的不等式.
(1)奇函数;(2)
(3)时,
时,
时,
时,

试题分析:(1)赋值法:先令,再令
(2)根据 以及当 时,有 ,利用函数单调性的定义判断得出上的减函数;并由单调性求其最值;
(3)由(1)和(2)的结论,先将不等式化为;再由函数的单调性转化为 关于的不等式的不同取值,分别讨论不等式的解.
试题解析:解(1)取

对任意恒成立 ∴为奇函数.
(2)任取, 则 

 又为奇函数 
在(-∞,+∞)上是减函数.
对任意,恒有

在[-3,3]上的最大值为6
(3)∵为奇函数,∴整理原式得
进一步可得 
在(-∞,+∞)上是减函数,
 
时,
时,
时,
时,
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