题目内容
【题目】生物学家预言，21世纪将是细菌发电造福人类的时代。说起细菌发电，可以追溯到1910年，英国植物学家利用铂作为电极放进大肠杆菌的培养液里，成功地制造出世界上第一个细菌电池。然而各种细菌都需在最适生长温度的范围内生长。当外界温度明显高于最适生长温度，细菌被杀死；如果在低于细菌的最低生长温度时，细菌代谢活动受抑制。为了研究某种细菌繁殖的个数
是否与在一定范围内的温度
有关，现收集了该种细菌的6组观测数据如下表：
经计算得：
，
，线性回归模型的残差平方和
．其中
分别为观测数据中的温度与繁殖数，
.
参考数据：
，
，
（Ⅰ）求关于的线性回归方程
（精确到0.1）；
（Ⅱ）若用非线性回归模型求得关于回归方程为
，且非线性回归模型的残差平方和
．
（ⅰ）用相关指数
说明哪种模型的拟合效果更好；
（ⅱ）用拟合效果好的模型预测温度为34℃时该种细菌的繁殖数（结果取整数）.
附：一组数据
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计为
，
；
相关指数
【答案】(1)
;(2) （ⅰ）见解析; （ⅱ）见解析.
【解析】分析：（Ⅰ）由题中所给数据和公式分别求得
，
即可求得线性回归方程。
（Ⅱ）由（1）中线性回归方程
对应的相关指数，和非线性回归模型
对应的相关指数，比较大小可得
，所以回归方程比线性回归方程拟合效果更好。把温度
代入指数回归方程，可得该种细菌的繁殖数估计为128个。
详解：（Ⅰ）由题意得：
，
，
，
所以
关于
的线性回归方程为.
（Ⅱ）（ⅰ）线性回归方程对应的相关指数为
非线性回归模型对应的相关指数为
因为
，所以
所以回归方程比线性回归方程拟合效果更好
（ⅱ）由（ⅰ）得当温度
时，
即当温度
时，该种细菌的繁殖数估计为128个.
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