题目内容
【题目】已知函数,其中
是自然对数的底数.
(1)若关于的不等式
在
上恒成立,求实数
的取值范围;
(2)已知正数满足:存在
,使得
成立.试比较
与
的大小,并证明你的结论.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】分析:(1)设,不等式
可化为
,对
可把
作为一个整体,分子分母同除以
,转化后可利用基本不等式求得其最值,从而得
的范围;
(2)令函数,则
,由导数可求得
的最小值,而题中命题成立,即这个最小值
,从而可得
的取值范围,而比较
与
,即比较
与
的大小,即比较
与
的大小.于是可构造函数
(
),利用导数得出其单调性,从而得结论.
详解:(1)由条件知在
上恒成立,
令(
),则
,所以
对于任意
成立.
因为,∴
,
当且仅当,即
时等号成立.
因此实数的取值范围是
.
(2)令函数,则
,
当时,
,
,又
,故
,
所以是
上的单调递增函数,
因此在
上的最小值是
.
由于存在,使
成立,当且仅当最小值
,
故,即
.
与
均为正数,同取自然底数的对数,
即比较与
的大小,试比较
与
的大小.
构造函数(
),则
,
再设,
,从而
在
上单调递减,
此时,故
在
上恒成立,则
在
上单调递减.
综上所述,当时,
;
当时,
;
当时,
.
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