题目内容
【题目】设函数.
(1)当时,求证:
;
(2)当时,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)当时,
,不等式
化为
,构造函数
,利用导数求函数
的最小值,从而证明不等式成立;
(2)方法1:不等式化为,令
,利用导数判断
,不等式化为
,记
,求出
的最大值,即可得出
的取值范围.
方法2:讨论时,
,求得
的取值范围,再证明
时,
在
上
恒成立.
(1)当时,
,
要证明,即证明
;
记,则
;
当时,
,函数
在
上单调递减;
当时,
,函数
在
上单调递增;
所以,即
;
(2)方法1: 即
,
令,令
,得
;
所以在
上单调减,在
单调增,
则,
即,可化为
,
记,则
,且
;
再令,
当时,
,
,
由(1)可知,
时成立,
,
,
由此,
在
上单调增;
当时,
,
在
上单调减;
因此,故
;
方法2:当时,
,由此
证明如下:当时,
在
上,
恒成立,
,同法1证明,
,
;
所以在
上,
恒成立,故
.
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练习册系列答案
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【题目】某企业有,
两个分厂生产某种产品,规定该产品的某项质量指标值不低于130的为优质品.分别从
,
两厂中各随机抽取100件产品统计其质量指标值,得到如图频率分布直方图:
(1)根据频率分布直方图,分别求出分厂的质量指标值的众数和中位数的估计值;
(2)填写列联表,并根据列联表判断是否有
的把握认为这两个分厂的产品质量有差异?
优质品 | 非优质品 | 合计 | |
合计 |
(3)(i)从分厂所抽取的100件产品中,利用分层抽样的方法抽取10件产品,再从这10件产品中随机抽取2件,已知抽到一件产品是优质品的条件下,求抽取的两件产品都是优质品的概率;
(ii)将频率视为概率,从分厂中随机抽取10件该产品,记抽到优质品的件数为
,求
的数学期望.
附:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |