题目内容
20.关于二项式(x-1)1999有下列四个命题,①该二项展开中非常数项的系数和为1
②该二项展开式中系数最大的项是第1000项
③该二项展开式中第6项为C$\stackrel{6}{1999}$X1993
④当x=2000时,(x-1)1999除以2000的余数是1999,
其中正确的序号是①④.
分析 关于二项式(x-1)1999有下列四个命题,
①令x=1,可得该二项展开中非常数项的系数和=(1-1)1999-(-1)1999,即可判断出正误;
②令通项公式Tr+1=${∁}_{1999}^{r}{x}^{1999-r}(-1)^{r}$,则T1000=$-{∁}_{1999}^{999}{x}^{1000}$,T1001=${∁}_{1999}^{1000}{x}^{999}$,即可得出该二项展开式中系数最大的项是第1001项.
③该二项展开式中第6项为${∁}_{1999}^{5}{x}^{1994}(-1)^{5}$,即可判断出正误;
④当x=2000时,(x-1)1999=20001999-${∁}_{1999}^{1}200{0}^{1998}$+…-${∁}_{1999}^{1997}200{0}^{2}$+${∁}_{1999}^{1998}2000$-1=2000M+1999×2000-1=2000M+1998×2000+1999(其中M为正整数),即可判断出正误.
解答 解:关于二项式(x-1)1999有下列四个命题,
①令x=1,可得该二项展开中非常数项的系数和=(1-1)1999-(-1)1999=1,正确;
②令通项公式Tr+1=${∁}_{1999}^{r}{x}^{1999-r}(-1)^{r}$,则T1000=$-{∁}_{1999}^{999}{x}^{1000}$,T1001=${∁}_{1999}^{1000}{x}^{999}$,可知:该二项展开式中二项式系数最大的项是第1000项与第1001项,而该二项展开式中系数最大的项是第1001项,因此不正确.
③该二项展开式中第6项为${∁}_{1999}^{5}{x}^{1994}(-1)^{5}$,而不是${∁}_{1999}^{6}$X1993,因此不正确;
④当x=2000时,(x-1)1999=20001999-${∁}_{1999}^{1}200{0}^{1998}$+…-${∁}_{1999}^{1997}200{0}^{2}$+${∁}_{1999}^{1998}2000$-1=2000M+1999×2000-1
=2000M+1998×2000+1999(其中M为正整数),∴当x=2000时,(x-1)1999除以2000的余数是1999,正确.
其中正确的序号是①④.
故答案为:①④.
点评 本题考查了二项式定理的性质及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
A. | $\overrightarrow{{e}_{1}}$=(0,0),$\overrightarrow{{e}_{2}}$=(-1,2) | B. | $\overrightarrow{{e}_{1}}$=(-1,3),$\overrightarrow{{e}_{2}}$=(2,-6) | ||
C. | $\overrightarrow{{e}_{1}}$=(-1,2),$\overrightarrow{{e}_{2}}$=(3,-1) | D. | $\overrightarrow{{e}_{1}}$=(-$\frac{1}{2}$,1),$\overrightarrow{{e}_{2}}$=(1,-2) |
A. | X=Y$\underset{?}{≠}$Z | B. | X$\underset{?}{≠}$Y=Z | C. | X$\underset{?}{≠}$Y$\underset{?}{≠}$Z | D. | X$\underset{?}{≠}$Z$\underset{?}{≠}$Y |
A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
A. | 11 | B. | 12 | C. | 13 | D. | 17 |
A. | {x|x>1} | B. | {x|x<3} | C. | ∅ | D. | {x|1<x<3} |