Question

【题目】（1）当时，求证：；

（2）求的单调区间；

（3）设数列的通项,证明．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

(1)构造函数，对函数求导得到函数的单调性，进而求得函数的最值，即可得证；（2）直接对函数求导得到，分，，，，几种情况得到函数的单调性;(3)由题意知, 由（1）知当时, 当时即,令则，同理:令则,同理:令则将式子累加得结果.

（1）的定义域为，恒成立；所以函数在上单调递减，得时即：

（2）由题可得，且.

当时，当有，所以单调递减，

当有，所以单调递增，

当时，当有，所以单调递增，

当有，所以单调递减，

当时，当有，所以单调递增，

当时，当有，所以单调递增，

当有，所以单调递减，

当时，当有，所以单调递减，

当有，所以单调递增，

（3）由题意知.

由（1）知当时

当时即

令则，

同理:令则.

同理:令则

以上各式两边分别相加可得：

即

所以：