题目内容
【题目】如图,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,,
,
,
平面
.
(Ⅰ)设为线段
的中点,求证:
//平面
;
(Ⅱ)若,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题(Ⅰ)思路一:先证明直线所在平面与平面
平行,再根据面面平行的定义说明直线
与平面
平行.取
中点
,连接
,易证平面
与平面
平行,从而问题得证;思路二:利用线面平行的判定定理来证明,取
中点
,连接
,易证四边形
为平行四边形,则
∥
,从而问题可得证.(Ⅱ)根据题意,利用“坐标法”来解决,建立适当的空间直角坐标系,通过向量数量积的坐标运算,从而可得解.
试题解析:(Ⅰ)证明:设线段的中点为
,连接
,
. 在△
中,
为中位线,故
.
又平面
,
平面
,所以
平面
.
在底面直角梯形中,
,且
,故四边形
为平行四边形,
即.又
平面
,
平面
,所以
平面
.
又因为平面
,
平面
,且
,所以平面
平面
.又
平面
,
所以有平面
.
(Ⅱ)如图所示,以为坐标原点,
的方向为
轴正方向,建立空间直角坐标系.
设,则
,
,
,
.
,
,
,
,
设是平面
的法向量,则
,即
,
可取,同理,设
是平面
的法向量,则
,可取
,
从而.
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练习册系列答案
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支持 | 中立 | 不支持 | |
20岁以下 | 800 | 450 | 200 |
20岁及以上 | 100 | 150 | 300 |
在所有参与调查的人中,用分层随机抽样的方法抽取人,已知从持“支持”态度的人抽取了45人,则
______.