题目内容
【题目】如图，底面
是边长为3的正方形，
平面，
，
，
与平面所成的角为
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】试题分析: （1）
平面
，
平面,
,又
证出线面垂直
平面
,再根据面面垂直的判定定理证出结论;(2) 以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立如图空间直角坐标系
，根据线面角大小求出侧棱长,写出各点坐标,进而求出平面
和平面的法向量,由二面角公式代入求值即可.
试题解析:（1）平面，平面.
.又
底面是正方形，
平面,又
平面
,
平面
平面；
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系，
与平面所成的角为
，
,
.
设平面的一个法向量为
则
令
，则
.又
平面，
为平面的一个法向量.
二面角
为锐角，二面角的余弦值为.
【题目】如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=4，BC= 
，点E，F分别为AD，BC的中点．如果对于常数λ，在ABCD的四条边上，有且只有8个不同的点P使得 
=λ成立，那么实数λ的取值范围为 ． 
【题目】高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占
、朋友聚集的地方占
、个人空间占.美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占
、家占
、个人空间占.如下表：
在家里最幸福 | 在其它场所幸福 | 合计 | |
中国高中生 | |||
美国高中生 | |||
合计 |
（Ⅰ）请将
列联表补充完整；试判断能否有
的把握认为“恋家”与否与国别有关；
（Ⅱ）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.
附：
，其中
.
| 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
