Question

8．已知集合A_n={（a₁，a₂，…a_n）|a_j=0或1，j=1，2，…，n（n≥2）}，对于U，V∈A_n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数，若给定U∈A_n，则所有的d（U，V）和为n2^n-1．

Answer 1

分析 易知A_n中共有2ⁿ个元素，分别记为v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n）b_i=0的v_k共有2^n-1个，b_i=1的v_k共有2^n-1个然后求和即可．

解答 解：易知A_n中共有2ⁿ个元素，分别记为v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ），
V=（b₁，b₂，b₃，…，b_n）
∵b_i=0的v_k共有2^n-1个，b_i=1的v_k共有2^n-1个．
∴d（U，V）=2^n-1（|a₁-0|+|a₁-1|+|a₂-0|+a₂-1|+|a₃-0|+|a₃-1|+…+|a_n-0|+|a_n-1|）=n×2^n-1
∴d（U，V）=n×2^n-1．
故答案为：n×2^n-1

点评 此题是个难题．本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S_n的，其实S_n中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义d（U，V）．