题目内容
13.已知函数f(x)=2sinx+a+3的图象过原点.(1)求a的值和f(x)的值域;
(2)设ω>0,若y=f(ωx)在区间[-$\frac{π}{2}$,$\frac{2π}{3}$]是增函数,求ω的取值范围;
(3)设|θ|<$\frac{π}{2}$,若对x取一切实数,不等式4+f(x+θ)f(x-θ)>2f(x)都成立,求θ的取值范围.
分析 (1)函数f(x)=2sinx+a+3的图象过原点,即f(0)=a+3=0,求出a的值,再根据-1≤sinx≤1,求出函数的值域;
(2)通过ω>0,求出y=f(ωx)的单调增区间,利用函数在区间[-$\frac{π}{2}$,$\frac{2π}{3}$]是增函数数,列出ω的不等式组,即可求ω的取值范围;
(3)利用第一问中函数解析式对不等式等价转化,利用二次函数的性质求得.
解答 解:(1)∵函数f(x)=2sinx+a+3的图象过原点,
∴f(0)=a+3=0,解得a=-3,
∴f(x)=2sinx,
∵-1≤sinx≤1,
∴-2≤f(x)≤2,
故函数f(x)的值域为[-2,2];
(2)y=f(ωx)=2sin(ωx),
根据正弦函数的单调性:2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,
解得f(x)的单增区间为[-$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$,$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$]
又由已知f(x)的单增区间为[-$\frac{π}{2}$,$\frac{2π}{3}$],
所以有[-$\frac{π}{2}$,$\frac{2π}{3}$]?[-$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$,$\frac{π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$]
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{2ω}≤-\frac{π}{2}}\\{\frac{π}{2ω}≤\frac{2π}{3}}\end{array}\right.$ 解得$\frac{3}{4}$≤ω≤1.
所以ω的取值范围是[$\frac{3}{4}$,1].
(2)∵4+f(x+θ)f(x-θ)>2f(x)
即4+4sin(x+θ)sin(x-θ)>4sinx,当|θ|<$\frac{π}{2}$时恒成立,
即4-2(cos2x-cos2θ)>4sinx,
整理得cos2θ>-2sin2x+2sinx-1,
∵f(x)=-2sin2x+2sinx-1=-2(sinx-$\frac{1}{2}$)-$\frac{1}{2}$
当sinx=$\frac{1}{2}$,即x=$\frac{π}{3}$,f(x)max=-$\frac{1}{2}$,
∴要使不等式成立需cos2θ>-$\frac{1}{2}$,
∴-$\frac{2}{3}π$≤2θ≤$\frac{2}{3}$π,
∴-$\frac{π}{3}$≤θ≤$\frac{π}{3}$,
故θ的取值范围[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{3}$].
点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,二倍角的三角函数以及两角和与差的三角函数,正弦函数的单调性的应用三角函数图象与性质,二次函数性质的应用,考查了学生转化与化归思想的运用,属于中档题.
本题可以参考独立性检验临界值表
P(K2≥k) | 0.5 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.535 | 7.879 | 10. 828 |