题目内容

如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为.已知都在椭圆上,其中为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,交于点P.
(i)若,求直线的斜率;
(ii)求证:是定值.
见解析
【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式。
(1)根据椭圆的性质和已知都在椭圆上列式求解。
(2)根据已知条件,用待定系数法求解
解:(1)由题设知,,由点在椭圆上,得
,∴
由点在椭圆上,得

∴椭圆的方程为
(2)由(1)得,又∵
∴设的方程分别为

。①
同理,。②
(i)由①②得,。解=2。
∵注意到,∴
∴直线的斜率为
(ii)证明:∵,∴,即

由点在椭圆上知,,∴
同理。

由①②得,

是定值。
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