Question

【题目】已知椭圆： （）的右焦点在直线： 上，且椭圆上任意两个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线经过点，且与椭圆有两个交点， ，是否存在直线： （其中）使得， 到的距离， 满足恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 时符合题意.

【解析】试题分析：

(1)由题意结合点差法计算可得， ，则椭圆的方程为.

(2)分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况可得：存在符合题意.

试题解析：

（1）设椭圆焦距为（），右焦点 为，

∵直线与轴的交点坐标为∴.

设椭圆上任意一点和关于原点对称的两点， ，

则有， ∴

又∵即∴

又，∴， .

∴椭圆的方程为.

（2）存在符合题意，理由如下：

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设， 联立，得

恒成立

，

不妨设，

∴

∴，整理得，即满足条件

当直线的斜率不存在时，显然满足条件

综上， 时符合题意.