Question

【题目】已知函数f（x）=alnx+ ，曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（1）求f（x）的最小值；
（2）比较f（x）与 的大小；
（3）证明：x＞0时，xexlnx+ex＞x3 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）= ，根据题意知f'（1）=0，即a=1，∴ ，

∴f'（x）= ，∴当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；

当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

∴f（x）min=f（1）=1

（2）解：令 = = ，

，

∴g（x）在（0，+∞）上单调递减

又∵g（1）=0∴当0＜x＜1时，g（x）＞g（1）=0， ；

当x＞1时，g（x）＜g（1）=0， ；

当x=1时，g（x）=0，

（3）证明：要证xexlnx+ex＞x3，即证：

令 ，即证∴f（x）＞h（x）， = ，

∴当0＜x＜2时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；

当x＞2时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；∴h（x）max=h（2）= ，

又由（1）知f（x）min=1，∴f（x）≥1，∴f（x）＞h（x），得证

【解析】（1）求出函数的导数，利用曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的最小值即可．（2）令 ，化简通过函数的导数，判断导函数的符号，然后通过x 的范围，判断两个数的大小．（3）要证xexlnx+ex＞x3 ， 即证： ，令 ，利用函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最小值，即可证明结果．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．