题目内容

【题目】(本小题满分14分)

已知抛物线的焦点为上异于原点的任意一点,过点的直线于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为时, 为正三角形.

)求的方程;

)若直线,且有且只有一个公共点

)证明直线过定点,并求出定点坐标;

的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

【答案】I.II)()直线AE过定点.的面积的最小值为16.

【解析】试题分析:(I)由抛物线的定义知

解得(舍去)..抛物线C的方程为.

II)()由(I)知

可得,即,直线AB的斜率为

根据直线和直线AB平行,可设直线的方程为

代入抛物线方程得

整理可得

直线AE恒过点.

注意当时,直线AE的方程为,过点

得到结论:直线AE过定点.

)由()知,直线AE过焦点

得到

设直线AE的方程为

根据点在直线AE上,

得到,再设,直线AB的方程为

可得

代入抛物线方程得

可求得

应用点B到直线AE的距离为 .

从而得到三角形面积表达式,应用基本不等式得到其最小值.

试题解析:(I)由题意知

,则FD的中点为

因为

由抛物线的定义知:

解得(舍去).

,解得.

所以抛物线C的方程为.

II)()由(I)知

因为,则

,故

故直线AB的斜率为

因为直线和直线AB平行,

设直线的方程为

代入抛物线方程得

由题意,得.

,则.

时,

可得直线AE的方程为

整理可得

直线AE恒过点.

时,直线AE的方程为,过点

所以直线AE过定点.

)由()知,直线AE过焦点

所以

设直线AE的方程为

因为点在直线AE上,

直线AB的方程为

由于

可得

代入抛物线方程得

所以

可求得

所以点B到直线AE的距离为

.

的面积

当且仅当时等号成立.

所以的面积的最小值为16.

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