题目内容
【题目】如图，已知四边形ABCD是正方形，AE⊥平面ABCD，PD∥AE，PD＝AD＝2EA＝2，G，F，H分别为BE，BP，PC的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面GHF；
（2）求直线GH与平面PBC所成的角θ的正弦值．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）通过证明BC⊥平面ABE，FH∥BC，证得FH⊥平面ABE，即可证得面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量方法求线面角的正弦值.
（1）由题：，AE⊥平面ABCD，BC
平面ABCD，所以AE⊥BC，
四边形ABCD是正方形，AB⊥BC，AE与AB是平面ABE内两条相交直线，
所以BC⊥平面ABE，F，H分别为BP，PC的中点，所以FH∥BC，
所以FH⊥平面ABE，HF平面GHF，所以平面ABE⊥平面GHF；
（2）由题可得：DA，DC，DP两两互相垂直，所以以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示：
，
所以
，设平面PBC的法向量
，
，取
为平面PBC的一个法向量，
所以直线GH与平面PBC所成的角θ的正弦值.
练习册系列答案
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【题目】某公司组织开展“学习强国”的学习活动，活动第一周甲、乙两个部门员工的学习情况统计如下：
学习活跃的员工人数 | 学习不活跃的员工人数 | |
甲 | 18 | 12 |
乙 | 32 | 8 |
（1）从甲、乙两个部门所有员工中随机抽取1人，求该员工学习活跃的概率；
（2）根据表中数据判断能否有
的把握认为员工学习是否活跃与部门有关；
（3）活动第二周，公司为检查学习情况，从乙部门随机抽取2人，发现这两人学习都不活跃，能否认为乙部门第二周学习的活跃率比第一周降低了？
参考公式：
，其中
.
参考数据：
，
，
.
