Question

【题目】如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点，侧面A1ACC1为边长为2的菱形，AC⊥CB，BC=1．

（1）证明：AC1⊥平面A1BC；
（2）求二面角B﹣A1C﹣B1的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得A1D⊥平面ABC，

∴平面A1ACC1⊥平面ABC，

∵平面A1ACC1∩平面ABC=AC，CA⊥CB

∴BC⊥平面A1ACC1

∴BC⊥AC1

连接A1C

∵侧面A1ACC1为菱形

∴A1C⊥AC1，

∴AC1⊥平面A1BC，

（2）解：直角三角形A1AD中，

∵AA1=2，AD=1，∴A1D= ，

过C作CM∥A1D交A1C1于M点，

分别以C为坐标原点，以CA，CB，CM的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，

则C（0，0，0），B（0，1，0），D（1，0，0），A（2，0，0），A1（1，0， ），

由 = ，得C1（﹣1，0， ），∴ =（﹣3，0， ），

由 = 得B1（﹣1，1， ），∴ =（﹣1，1， ）， =（1，0， ），设平面A1B1C的一个法向量为 =（x，y，z），

由 得 ，

令z=1，解得 =（﹣ ，﹣2 ，1）

由题得 = =（﹣3，0， ）为平面A1BC的一个法向量， cos＜ ， ＞= = = = ，

则＜ ， ＞= ．

因此二面角B﹣A1C﹣B1的大小为 ．

【解析】（1）根据线面垂直的判定定理即可得到结论．（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)．