Question

【题目】如图，在三棱锥中， ， ， ，平面平面， 、分别为、中点．

（1）求证： ；

（2）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)60°.

【解析】试题分析：

（1）连结PD，由题意可得,则AB⊥平面PDE， ；

（2）法一：结合几何关系做出二面角的平面角，计算可得其正切值为，故二面角的大小为；

法二：以D为原点建立空间直角坐标系，计算可得平面PBE的法向量．平面PAB的法向量为．据此计算可得二面角的大小为.

试题解析：

（1）连结PD，PA=PB，PDAB． ，BCAB，DEAB．

又 ，AB平面PDE，PE平面PDE，

∴ABPE．

（2）法一：

平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．

则DEPD,又EDAB，PD平面AB=D，DE平面PAB,

过D做DF垂直PB与F，连接EF，则EFPB，∠DFE为所求二面角的平面角，

则：DE=，DF=，则，故二面角的大小为

法二：

平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．

如图，以D为原点建立空间直角坐标系，

B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0， ，0)，

=(1，0， )， =(0， ， ）．

设平面PBE的法向量，

令，得．

DE平面PAB， 平面PAB的法向量为．

设二面角的大小为，由图知， ，

所以即二面角的大小为.