Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{（\frac{1}{2}）}^{x}，}&{x≤0}\\{f（2x-2）}&{0＜x≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，若方程f（x）=x+a有且只有三个不相等的实根，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [0，1）
• B． [1，2）
• C． [1，3）
• D． [0，3）

Answer 1

分析 先求出函数f（x）的解析式，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：当0＜x≤1，则-2＜2x-2≤0，
此时f（x）=f（2x-2）=$（\frac{1}{2}）^{2x-2}$=（$\frac{1}{4}$）^x-1，0＜x≤1，
当1＜x≤$\frac{3}{2}$，则0＜2x-2≤1，
此时f（x）=f（2x-2）=（$\frac{1}{4}$）^2x-2-1=）=（$\frac{1}{4}$）^2x-3，1＜x≤$\frac{3}{2}$，
作出函数f（x）的图象如图：
由图象知当直线经过点A（0，1）时，y=x+a与y=f（x）有三个交点，
此时a=1，
当直线经过点B（1，4）时，由4=1+a，解得a=3，
故若方程f（x）=x+a有且只有三个不相等的实根，
则满足1≤a＜3，
故选：C．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．