Question

5．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图．
试利用频率分布直方图求：
（1）这50名学生成绩的众数与中位数．  
（2）这50名学生的平均成绩．（答案精确到0.1）

Answer 1

分析 （1）由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求；由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．
（2）样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．

解答 （12分）
解：（1）由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．
在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，
所以由频率分布直方图得众数应为75．
由于中位数是所有数据中的中间值，
故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．
因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．
∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3，
∴前三个小矩形面积的和为0.3．而第四个小矩形面积为0.03×10=0.3，0.3+0.3＞0.5，
∴中位数应位于第四个小矩形内．设其底边为x，高为0.03，
∴令0.03x=0.2得x≈6.7，故中位数约为70+6.7=76.7．
（2）样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，
即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．
∴平均成绩为45×（0.004×10）+55×（0.006×10）+65×（0.02×10）+75×（0.03×10）+85×（0.021×10）+95×（0.016×10）≈73.7．

点评 本题考查众数、中位数、平均成绩的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．