Question

已知函数f（x）=1+

m

ex+1

，若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一个三角形的边长，则实数m的取值范围是（　　）

• A、[-

  1

  2

  ，0]
• B、[0，1]
• C、[1，2]
• D、[-

  1

  2

  ，1]

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得则f（a）+f（b）＞f（c）对任意的a、b、c∈R恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论m转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数m的取值范围．

解答：解：由题意可得，f（a）+f（b）＞f（c）对任意的a、b、c∈R恒成立，
∵函数f（x）=1+

m

ex+1

，故当m=0时，f（x）=1，满足条件．
∴当m＞0时，函数f（x）在R上是减函数，函数的值域为（1，1+m）；
故f（a）+f（b）＞2，f（c）＜1+m，∴1+m≤2，即 m≤1①．
当m＜0时，函数f（x）在R上是增函数，函数的值域为（1+m，1）；
故f（a）+f（b）＞2+2m，f（c）＜1，∴2+2m≥1，m≥-

1

2

 ②．
由①②可得-

1

2

≤m≤1，
故选：D．

点评：本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．