Question

10．如图所示，已知△ABC中，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点．且AD与BE交于O点．求证：$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{0}$．

Answer 1

分析 利用向量的平行四边形法则、中点的向量表示即可得出．

解答 证明：如图所示，
∵D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$，$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$．
∴$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$+$\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$+$\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$
=$\overrightarrow{0}$．
∴$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{0}$．

点评 本题考查了向量的平行四边形法则、中点的向量表示，属于基础题．