Question

19．已知圆C₁：x²+y²-2mx+4y+m²-5=0与圆C₂：x²+y²+2x-2my+m²-3=0．当m为何值时：
（1）两圆外切？
（2）两圆内切？

Answer 1

分析 （1）将圆C₁与圆C₂分别化成标准形式，可得它们的圆心坐标和半径长．如果C₁与C₂外切，则两圆的半径之和等于它们圆心间的距离，由此建立关于m的方程，解之即可得到m的值；
（2）若C₁与C₂内切，则两圆的圆心距等于它们半径之差的绝对值，由此建立关于m的不等式，即可解出m的取值范围．

解答 解：∵圆C₁：x²+y²-2mx+4y+m²-5=0，∴将圆C₁化成标准方程，得
C₁：（x-m）²+（y+2）²=9，圆心为C₁（m，-2），半径r₁=3
同理，C₂的标准方程是：（x+1）²+（y-m）²=4，圆心为C₂（-1，m），半径r₂=2．
（1）如果圆C₁与圆C₂外切，则|C₁C₂|=r₁+r₂=5，即$\sqrt{（-1-m）^{2}+（m+2）^{2}}$=5
平方化简整理，得m²+3m-10=0，解之得m=2或-5；
（2）如果圆C₁与圆C₂外切，则|C₁C₂|=r₁-r₂=1，即$\sqrt{（-1-m）^{2}+（m+2）^{2}}$=1
平方化简整理，得m²+3m+2=0，解之得m=-2或-1．

点评 本题给出两个含有字母m的圆的一般方程，在满足外切、内切的情况下求m的取值范围．着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式和圆与圆的位置关系等知识，属于基础题．