题目内容
【题目】已知函数
.
（1）求曲线
在
处的切线方程
，并证明：
.
（2）当
时，方程
有两个不同的实数根
，证明：
.
【答案】（1）
；证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）首先求出导函数
，利用导数的几何意义以及点斜式方程可求切线方程；构造函数
，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最小值
即证.
（2）
为方程
的两根，不妨设
，由在
上单调递增，根据零点存在性定理可知，存在
，使
，由
，得
，由（1）可得
，
，然后利用分析法即可证出.
解：（1）因为，
所以
，
， 即切线方程：
下证：
，
令
在
上单调递增，且
所以，
在
递减，在
递增，
所以.
所以
.
（2）
，为方程的两根，
不妨设，显然在上单调递增.
且
所以存在，使
当
，
，
递减；
，
，递增.
由，得，又由（1）知
所以：，
要证：
，需证：
，即证：
，
，即证：
.
即：
令
，
在
单调递增，且
.
所以，
，
在单调递增.
所以
所以不等式成立.
阅读快车系列答案
【题目】为了响应绿色出行，某市推出了新能源分时租赁汽车，并对该市市民使用新能源租赁汽车的态度进行调查，得到有关数据如下表1：
表1
愿意使用新能源租赁汽车 | 不愿意使用新能源租赁汽车 | 总计 | |
男性 | 100 | 300 | |
女性 | 400 | ||
总计 | 400 |
其中一款新能源分时租赁汽车的每次租车费用由行驶里程和用车时间两部分构成：行驶里程按1元/公里计费；用车时间不超过30分钟时，按0.15元/分钟计费；超过30分钟时，超出部分按0.20元/分钟计费.已知张先生从家到上班地点15公里，每天上班租用该款汽车一次，每次的用车时间均在20~60分钟之间，由于堵车红绿灯等因素，每次的用车时间
（分钟）是一个随机变量.张先生记录了100次的上班用车时间，并统计出在不同时间段内的频数如下表2：
表2
时间 | （20，30] | （30，40] | （40，50] | （50，60] |
频数 | 20 | 40 | 30 | 10 |
（1）请补填表1中的空缺数据，并判断是否有99.5%的把握认为该市市民对新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；
（2）根据表2中的数据，将各时间段发生的频率视为概率，以各时间段的区间中点值代表该时间段的取值，试估计张先生租用一次该款汽车上班的平均用车时间；
附：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
