题目内容
【题目】已知是无穷数列.给出两个性质:
①对于中任意两项
,在
中都存在一项
,使
;
②对于中任意项
,在
中都存在两项
.使得
.
(Ⅰ)若,判断数列
是否满足性质①,说明理由;
(Ⅱ)若,判断数列
是否同时满足性质①和性质②,说明理由;
(Ⅲ)若是递增数列,且同时满足性质①和性质②,证明:
为等比数列.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详解解析;(Ⅲ)证明详见解析.
【解析】
(Ⅰ)根据定义验证,即可判断;
(Ⅱ)根据定义逐一验证,即可判断;
(Ⅲ)解法一:首先,证明数列中的项数同号,然后证明,最后,用数学归纳法证明数列为等比数列即可.
解法二:首先假设数列中的项数均为正数,然后证得成等比数列,之后证得
成等比数列,同理即可证得数列为等比数列,从而命题得证.
(Ⅰ)不具有性质①;
(Ⅱ)具有性质①;
具有性质②;
(Ⅲ)解法一
首先,证明数列中的项数同号,不妨设恒为正数:
显然,假设数列中存在负项,设
,
第一种情况:若,即
,
由①可知:存在,满足
,存在
,满足
,
由可知
,从而
,与数列的单调性矛盾,假设不成立.
第二种情况:若,由①知存在实数
,满足
,由
的定义可知:
,
另一方面,,由数列的单调性可知:
,
这与的定义矛盾,假设不成立.
同理可证得数列中的项数恒为负数.
综上可得,数列中的项数同号.
其次,证明:
利用性质②:取,此时
,
由数列的单调性可知,
而,故
,
此时必有,即
,
最后,用数学归纳法证明数列为等比数列:
假设数列的前
项成等比数列,不妨设
,
其中,(
的情况类似)
由①可得:存在整数,满足
,且
(*)
由②得:存在,满足:
,由数列的单调性可知:
,
由可得:
(**)
由(**)和(*)式可得:,
结合数列的单调性有:,
注意到均为整数,故
,
代入(**)式,从而.
总上可得,数列的通项公式为:
.
即数列为等比数列.
解法二:
假设数列中的项数均为正数:
首先利用性质②:取,此时
,
由数列的单调性可知,
而,故
,
此时必有,即
,
即成等比数列,不妨设
,
然后利用性质①:取,则
,
即数列中必然存在一项的值为,下面我们来证明
,
否则,由数列的单调性可知,
在性质②中,取,则
,从而
,
与前面类似的可知则存在,满足
,
若,则:
,与假设矛盾;
若,则:
,与假设矛盾;
若,则:
,与数列的单调性矛盾;
即不存在满足题意的正整数,可见
不成立,从而
,
然后利用性质①:取,则数列中存在一项
,
下面我们用反证法来证明,
否则,由数列的单调性可知,
在性质②中,取,则
,从而
,
与前面类似的可知则存在,满足
,
即由②可知:,
若,则
,与假设矛盾;
若,则
,与假设矛盾;
若,由于
为正整数,故
,则
,与
矛盾;
综上可知,假设不成立,则.
同理可得:,从而数列
为等比数列,
同理,当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.
由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负,不会同时出现正数和负数.
从而题中的结论得证,数列为等比数列.
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