题目内容
【题目】已知圆:
,点
,
.
(1)若线段的中垂线与圆
相切,求实数
的值;
(2)过直线上的点
引圆
的两条切线,切点为
,若
,则称点
为“好点”. 若直线
上有且只有两个“好点”,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)求出的中点坐标,直线
的斜率,可得
的中垂线方程,利用直线与圆相切,求解
即可.
(2)连接,先求出圆
的方程,直线
上有且只有两个“好点”,推出圆心
到直线
的距离
,求解即可.
解:(1)由,
得:
的中点坐标为
,直线
的斜率为
,
所以的中垂线方程为
,即
,
又因为的中垂线与圆
相切,
所以圆心到
中垂线的距离
,
即;
(2)连接,
在中,
,
,
所以,
所以点的轨迹是以
为圆心,
为半径的圆,记为圆
,
则圆的方程为
,
又因为直线的方程为
,且直线
上有且只有两个“好点”,
则直线与圆
相交,
所以圆心到直线
的距离
,
故实数的取值范围是
.
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