题目内容
【题目】已知项数为项的有穷数列
,若同时满足以下三个条件:
,
为正整数
;
或1,其中
,3,
,
;
任取数列
中的两项
,
,剩下的
项中一定存在两项
,
,满足
,则称数列
为
数列.
若数列
是首项为1,公差为1,项数为6项的等差数列,判断数列
是否是
数列,并说明理由.
当
时,设
数列
中1出现
次,2出现
次,3出现
次,其中
,
,
.
求证:,
,
;
当
时,求
数列
中项数
的最小值.
【答案】(1)数列不是
数列; (2)见解析; (3)2027.
【解析】
根据
数列的定义判断即可;
根据
数列的定义证明即可;
先证明项数
的最小值是2027:再证明上述数列是
数列,从而判断即可.
若数列
:1,2,3,4,5,6是
数列,
取数列中的两项1和2,
则剩下的4项中不存在两项,
,
使得,故数列
不是
数列;
若
,对于
,
,若存在
,满足
,
,于是
,
,
故,
,从而
,矛盾,
故,同理
,
下面证明:
若,即2出现了1次,不妨设
,
,
等式左边是3,等式右边有几种可能,分别是或
或
,
等式两边不相等,矛盾,于是;
设出现
次,2出现
次
,
2019出现次,其中
,
,
,
,
由可知,
,
,且
,同理
,
又,
,
,
故项数,
下面证明项数的最小值是2027:
取,
,
,
,
,
可以得到数列:1,1,1,1,2,2,3,
,2016,2017,2018,2019,2019,2019,2019,
接下来证明上述数列是数列:
若任取的两项分别是1,1,则其余的项中还存在2个1,满足,
同理,若任取的两项分别是2019,2019也满足要求,
若任取的两项分别是1,2,则其余的项中还存在3个1,1个2,满足要求,
同理,若任取的两项分别是2018,2019也满足要求,
若任取,
,则在其中的项中取
,
,满足要求,
同理,若,
也满足要求,
若任取的两项,
满足
,
则在其余的项中选取,
,
每个数最多被选取了1次,于是也满足要求,
从而,项数的最小值是2027.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)