题目内容
【题目】已知
，
是椭圆
：
上的两点，线段
的中点在直线
上.
（1）当直线的斜率
存在时，求实数的取值范围；
（2）设
是椭圆的左焦点，若椭圆上存在一点
，使
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）设中点
，利用点差法得
，由点在椭圆内部得
，即可求解k的范围
（2）向量坐标化得
，
，弦长公式得
由点
在椭圆上，得
，进而得AB方程，与椭圆联立得
，则可求
（1）设
，
，则
，
，
两式相减得：
，
由线段
的中点在直线
上，可设此中点，因为直线的斜率存在，所以
，
设其斜率为
，由式得
，即.
由于弦的中点
必在椭圆内部，则
，解得.
又，所以斜率的取值范围为.
（2）由（1）知，，因为椭圆的左焦点
为
，
所以
，
，设，则
，
，，
，
同理可得
，因为点在椭圆上，所以
，
解得.当
时，
，直线的方程为
，
代入
得
，由根与系数关系得.
则
.
由对称性知，当
时
也成立，
.
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列联表：
男性 | 女性 | 合计 | |
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不使用 | 10 | 20 | 30 |
合计 | 25 | 25 | 50 |
（1）请根据调查结果分①析：你有多大把握认为使用该产品与性别有关；
（2）在不使用该产品的人中，按性别用分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加某项活动，求这2人中恰有一位女性的概率.
附：
| 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 6.635 | 7.879 | 10.828 |
