题目内容

【题目】已知,函数在点处与轴相切

(1)求的值,并求的单调区间;

(2)当时,,求实数的取值范围。

【答案】(1)见解析(2)

【解析】

(1)求出函数的导数,利用已知条件列出方程,求出,判断导函数的符号,然后求解单调区间.
(2)令.求出,令,求出导数,通过(i)若,(ii)若,判断函数的单调性求解最值,然后求解的取值范围.

Ⅰ)函数在点处与轴相切.

依题意,解得,所以

时,;当时,

的单调递减区间为,单调递增区间为

(2)令.则

,则

ⅰ)若,因为当时,,所以

所以上单调递增.又因为

所以当时,,从而上单调递增,

,所以,即成立.

ⅱ)若,可得上单调递增.

因为,所以存在,使得,且当时,,所以上单调递减,

又因为,所以当时,,从而上单调递减,

,所以当时,,即不成立.

综上所述,的取值范围是

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