题目内容
【题目】已知,函数
在点
处与
轴相切
(1)求的值,并求
的单调区间;
(2)当时,
,求实数
的取值范围。
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)求出函数的导数,利用已知条件列出方程,求出,判断导函数的符号,然后求解单调区间.
(2)令,
.求出
,令
,求出导数,通过(i)若
,(ii)若
,判断函数的单调性求解最值,然后求解
的取值范围.
(Ⅰ)函数在点
处与
轴相切.
,
依题意,解得
,所以
.
当时,
;当
时,
.
故的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
(2)令,
.则
,
令,则
,
(ⅰ)若,因为当
时,
,
,所以
,
所以即
在
上单调递增.又因为
,
所以当时,
,从而
在
上单调递增,
而,所以
,即
成立.
(ⅱ)若,可得
在
上单调递增.
因为,
,所以存在
,使得
,且当
时,
,所以
即
在
上单调递减,
又因为,所以当
时,
,从而
在
上单调递减,
而,所以当
时,
,即
不成立.
综上所述,的取值范围是
.
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