题目内容

(本小题满分14分)
如图,在半径为圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A、C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长,圆柱的体积为.

(1)写出体积V关于的函数关系式;
(2)当为何值时,才能使做出的圆柱形罐子体积V最大?
(1)
其中.(7分)
(2)当时,V有最大值.
  (1) 连结OB,∵,∴,设圆柱底面半径为,则,可得,所以,
(2)利用导数求V的最大值即可.
(1)连结OB,∵,∴
设圆柱底面半径为,则

所以
其中.(7分)

(2)由,得
因此在(0,)上是增函数,在(,30)上是减函数.
所以当时,V有最大值.(14分)
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