题目内容
【题目】某学校为了了解全校学生“体能达标”的情况，从全校1000名学生中随机选出40名学生，参加“体能达标”预测，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”若该校“不合格”的人数不超过总人数的
，则全校“体能达标”为“合格”；否则该校“体能达标”为“不合格”，需要重新对全校学生加强训练现将这40名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）.
（1）求这40名学生测试成绩的平均分
和标准差
；
（2）假设该校学生的“体能达标”预测服从正态分布
用样本平均数作为
的估计值
，用样本标准差作为
的估计值
.利用估计值估计：该校学生“体能达标”预测是否“合格”？
附：①
个数
的平均数
，方差
；
②若随机变量
服从正态分布，则
，
，
.
【答案】（1）平均分为74，标准差为7.（2）该校学生“体能达标”预测合格.
【解析】
(1)根据甲组的平均成绩为70,乙组的平均成绩为80，根据公式可得
设甲组24名学生的测试成绩分别为：
，乙组16名学生的测试成绩分别为：
，将公式
变形变形为
，
分别求得
和
，即可根据公式解得解得
和
，最后整理公式得
，计算并求解即可
(2)由(1)可得
,
,由
，
得
，进而得到
，
求出全校学生“不合格”的人数占总人数的百分比，与
进行比较即可
（1）这40名学生测试成绩的平均分
.
将
变形为
.
设第一组学生的测试成绩分别为
，
第二组学生的测试成绩分别为
，则
第一组的方差为
，
解得.
第二组的方差为
，
解得.
这40名学生的方差为
，
所以
.
综上，这40名学生测试成绩的平均分为74，标准差为7.
（2）由
，
，得
的估计值为，
的估计值
.
由
，得
，
即.所以
，
从而，在全校1000名学生中，“不合格”的有
（人），
而
，
故该校学生“体能达标”预测合格.
