题目内容
【题目】有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏,棋盘上标有第0站(出发地),第1站,第2站,……,第100站. 一枚棋子开始在出发地,棋手每掷一次硬币,这枚棋子向前跳动一次,若掷出正向,棋子向前跳一站,若掷出反面,棋子向前跳两站,直到棋子跳到第99站(获胜)或跳到第100站(失败)时,该游戏结束. 设棋子跳到第站的概率为
.
(1)求,
,
,并根据棋子跳到第
站的情况写出
与
、
的递推关系式(
);
(2)求证:数列为等比数列;
(3)求玩该游戏获胜的概率.
【答案】(1),
,
,
;(2)见解析;(3)
.
【解析】
(1)棋子开始在第0站是必然事件,;棋子跳到第1站,
;棋子跳到第2站,有两种情况,是互斥事件,分别求出,相加即可;依题意知,棋子跳到第
(
)站有两种情况:棋子先跳到
站和棋子先跳到
站,它们是互斥事件,根据互斥事件的加法公式即得,
(2)要证明数列
为等比数列,需证明
是常数,
将两边同减去
,构成
即可;
(3)由(2)知,得,将
的前99项相加即可
解:(1)棋子开始在第0站是必然事件,;
棋子跳到第1站,只有一种情况,第一次掷硬币正面向上,其概率为;
棋子跳到第2站,有两种情况,
①第一次掷硬币反面向上,其概率为;
②前两次掷硬币都是正面向上,其概率为;
依题意知,棋子跳到第(
)站有两种情况:
第一种,棋子先跳到站,又掷出反面,其概率为
;
第二种,棋子先跳到站,又掷出正面,其概率为
.
∴
故有: ,
,
,
.
(2)由(1)知,,
,又
,
数列是以
为首项,
为公比的等比数列.
(3)由(2)知,,
∴
.
∴玩该游戏获胜的概率为
故答案为:.
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【题目】为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内,武汉某制药厂在该药品的生产过程中,检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测,测量其主要药理成分含量(单位:mg).根据生产经验,可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N(μ,σ2).在一天内抽取的20件产品中,如果有一件出现了主要药理成分含量在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的药品,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对本次的生产过程进行检查.
(1)下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量:
10.02 | 9.78 | 10.04 | 9.92 | 10.14 | 10.04 | 9.22 | 10.13 | 9.91 | 9.95 |
10.09 | 9.96 | 9.88 | 10.01 | 9.98 | 9.95 | 10.05 | 10.05 | 9.96 | 10.12 |
经计算得xi=9.96,s
0.19;其中xi为抽取的第i件药品的主要药理成分含量,i=1,2,…,20.用样本平均数
作为μ的估计值
,用样本标准差s作为σ的估计值
,利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查?
(2)假设生产状态正常,记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的药品件数,求/span>P(X=1)及X的数学期望.
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)≈0.9974,0.997419≈0.95.