Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，平面，点在棱上.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若直线平面，求此时三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

(I)先利用正弦定理以及三角形内角和定理证明,结合可得平面，由此能证明平面平面；(II)连结与交于点，连结 ,可证明，由=，由此能求出三棱推的体积.

（Ⅰ）因为AB⊥平面PAD，

所以AB⊥DP，

又因为，AP=2，∠PAD=60°，

由，可得，所以∠PDA=30°，

所以∠APD=90°，即DP⊥AP，

因为，所以DP⊥平面PAB，

因为，所以平面PAB⊥平面PCD

（Ⅱ）连结AC，与BD交于点N，连结MN，因为PA//平面MBD，

MN为平面PAC与平面MBD的交线，所以PA//MN，

所以，

在四边形ABCD中，因为AB//CD，所以，

所以，，.

因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥AD，且平面APD⊥平面ABCD，

在平面PAD中，作PO⊥AD，则PO⊥平面ABCD，

因为，

所以

因为CD=3.所以，

所以.