题目内容
【题目】已知函数,且曲线
在点
处的切线与直线
垂直.
(1)求函数的单调区间;
(2)求证:时,
.
【答案】(1)的单调增区间为
,无减区间(2)详见解析.
【解析】
(1)求出原函数的导函数,得到函数在x=1时的导数,再求得f(1),然后利用直线方程的点斜式得答案;(2)构造新函数h(x)=ex﹣x2﹣(e﹣2)x﹣1,证明ex﹣(e﹣2)x﹣1≥x2;令新函数φ(x)=lnx﹣x,证明x(lnx+1)≤x2,从而证明结论成立.
(1)由,得
.
因为曲线在点
处的切线与直线
垂直,
所以,所以
,即
,
.
令,则
.所以
时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增.所以
,所以
,
单调递增.
即的单调增区间为
,无减区间
(2)由(1)知,
,所以
在
处的切线为
,
即.
令,则
,
且,
,
时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增.
因为,所以
,因为
,所以存在
,使
时,
,
单调递增;
时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增.
又,所以
时,
,即
,
所以.
令,则
.所以
时,
,
单调递增;
时,
,
单调递减,所以
,即
,
因为,所以
,所以
时,
,
即时,
.
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