Question

5．已知a、b、c分别为角A、B、C的对边，a=$\sqrt{3}$b•sinA-acosB．
（1）求角B；
（2）若b=2$\sqrt{3}$，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，结合辅助角公式进行化简即可求角B；
（2）若b=2$\sqrt{3}$，根据正弦定理求出b，c，利用辅助角公式进行化简即可得到结论．

解答 解：（1）∵a=$\sqrt{3}$b•sinA-acosB．
∴由正弦定理得sinA=$\sqrt{3}$sinB•sinA-sinAcosB．
在△中，sinA≠0，
∴$\sqrt{3}$sinB-cosB=1，
即2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB-$\frac{1}{2}$cosB）=2sin（B-$\frac{π}{6}$）=1，
即sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴-$\frac{π}{6}$＜B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，即B=$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$；
（2）若b=2$\sqrt{3}$，在△ABC中，B=$\frac{π}{3}$，则A+C=$\frac{2π}{3}$，
即C=$\frac{2π}{3}$-A，0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
则由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，
∴a=4sinA，c=4sinC，
则a+c=4sinA+4sinC=4sinA+4sin（$\frac{2π}{3}$-A）=4sinA+4（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）
=4sinA+2$\sqrt{3}$cosA+2sinA
=6sinA+2$\sqrt{3}$cosA
=4$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA）
=4$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴当A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{3}$时，sin（A+$\frac{π}{6}$）取得最大值1，
此时a+c取得最大值4$\sqrt{3}$，
即周长取得最大值为a+c+b=4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查正弦定理的应用，以及利用辅助角公式结合三角函数的性质是解决本题的关键．