题目内容

【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)若c= ,△ABC的面积为 ,求△ABC的周长.

【答案】解:(Ⅰ)∵在△ABC中,0<C<π,∴sinC≠0

已知等式利用正弦定理化简得:2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,

整理得:2cosCsin(A+B)=sinC,

即2cosCsin(π﹣(A+B))=sinC

2cosCsinC=sinC

∴cosC=

∴C=

(Ⅱ)由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab

∴(a+b)2﹣3ab=7,

∵S= absinC= ab=

∴ab=6,

∴(a+b)2﹣18=7,

∴a+b=5,

∴△ABC的周长为5+


【解析】(Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,根据sinC不为0求出cosC的值,即可确定出出C的度数;(2)利用余弦定理列出关系式,利用三角形面积公式列出关系式,求出a+b的值,即可求△ABC的周长.

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