题目内容
【题目】在极坐标系中,曲线C:ρ=2acosθ(a>0),l:ρcos(θ﹣ )=
,C与l有且仅有一个公共点.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)O为极点,A,B为C上的两点,且∠AOB= ,求|OA|+|OB|的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)曲线C:ρ=2acosθ(a>0),变形ρ2=2ρacosθ,化为x2+y2=2ax,即(x﹣a)2+y2=a2.
∴曲线C是以(a,0)为圆心,以a为半径的圆;
由l:ρcos(θ﹣ )=
,展开为
,
∴l的直角坐标方程为x+ y﹣3=0.
由直线l与圆C相切可得 =a,解得a=1.
(Ⅱ)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+ ,
则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos(θ+ )
=3cosθ﹣ sinθ=2
cos(θ+
),
当θ=﹣ 时,|OA|+|OB|取得最大值2
【解析】(I)把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程,利用直线与圆相切的性质即可得出a;(II)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+ ,则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos(θ+
)=2
cos(θ+
),利用三角函数的单调性即可得出.
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