题目内容
【题目】已知椭圆E: +
=1(a>b>0)过点
,且离心率e为
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线x=my﹣1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.
【答案】
(1)解:由已知得 ,解得
,
∴椭圆E的方程为
(2)解:解法一:设点A(x1y1),B(x2,y2),AB中点为H(x0,y0).
由 ,化为(m2+2)y2﹣2my﹣3=0,
∴y1+y2= ,y1y2=
,∴y0=
.
G ,
∴|GH|2= =
+
=
+
+
.
=
=
=
,
故|GH|2﹣ =
+
=
﹣
+
=
>0.
∴ ,故G在以AB为直径的圆外
解法二:设点A(x1y1),B(x2,y2),则 =
,
=
.
由 ,化为(m2+2)y2﹣2my﹣3=0,
∴y1+y2= ,y1y2=
,
从而 =
= +y1y2
= +
= ﹣
+
=
>0.
∴ >0,又
,
不共线,
∴∠AGB为锐角.
故点G 在以AB为直径的圆外
【解析】解法一:(1)由已知得 ,解得即可得出椭圆E的方程.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为H(x0,y0).直线方程与椭圆方程联立化为(m2+2)y2﹣2my﹣3=0,利用根与系数的关系中点坐标公式可得:y0=
.|GH|2=
.
=
,作差|GH|2﹣
即可判断出.
解法二:(1)同解法一.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则 =
,
=
.直线方程与椭圆方程联立化为(m2+2)y2﹣2my﹣3=0,计算
=
即可得出∠AGB,进而判断出位置关系.
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