Question

13．在数列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=3ⁿ，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由已知条件，令n=1，求得a₂的值，由a_na_n+1=3ⁿ，得a_na_n-1=3^n-1，两式相比，利用等比数列的性质能推导出数列{a_n}的奇数项和偶数项都成等比数列，由此利用等比数列通项公式能求出数列{a_n}的通项．

解答 解：∵a₁=1，a_na_n+1=3ⁿ，
∴当n=1时，a₂=3，
当n≥2时，∵a_na_n+1=3ⁿ，①，
∴a_na_n-1=3^n-1，②
①②两式相比，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=3，
∵a₁=1，a₂=3，
∴数列{a_n}的奇数项是首项为1公比为3的等比数列，偶数项是首项为3，公比为3的等比数列，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{\frac{n-1}{2}，n为奇数}}\\{{3}^{\frac{n}{2}，n为偶数}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意递推公式、等比数列和分类讨论思想的合理运用．